Αρχική σελίδα
Φροντιστήρια & Ιδιαίτερα Μαθήματα για Κατατακτήριες στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Κάνε ό,τι καλύτερο μπορείς μέχρι να μάθεις. Μετά όταν μάθεις καλύτερα, καν’ το καλύτερα.

(Maya Angelou)
Εικόνα

Μαθηματικά ΙΙ

Εξεταζόμενη ύλη

Μαθηματικά ΙΙ | Κατατακτήριες ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ

α. Ολοκληρωτικός Λογισμός συναρτήσεων πολλών μεταβλητών - Διανυσματική Ανάλυση

Στοιχεία Διαφορικής Γεωμετρίας. Πρωτεύοντα διανύσματα, τρίεδρο Frenet, καμπυλότητα και στρέψη καμπύλης. Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων
(πολικές, κυλινδρικές, σφαιρικές συντεταγμένες). Επικαμπύλια ολοκληρώματα πρώτου και δευτέρου είδους. Διπλό ολοκλήρωμα. Θεώρημα
Fubini. Εφαρμογές. Τύπος Green. Τριπλό ολοκλήρωμα. Αλλαγή μεταβλητών στο τριπλό ολοκλήρωμα. Εφαρμογές. Στοιχεία από τη θεωρία των επιφανειών. Επιφανειακά ολοκληρώματα. Επιφανειακό ολοκλήρωμα πρώτου και δευτέρου είδους. Ολοκληρωτικοί τύποι. Απόκλιση και περιστροφή διανυσματικού πεδίου. Θεώρημα Stokes.
Θεώρημα Gauss. Ειδικά διανυσματικά πεδία.

β. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις και Μιγαδικές Συναρτήσεις
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: Ορισμός, Έννοια λύσης και γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Προβλήματα αρχικών

  • συνοριακών τιμών. Καλά τοποθετημένα προβλήματα,
    διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης: Χωριζόμενων μεταβλητών, ομογενείς, ακριβείς, Riccati, Lagrange,
    Clairaut. Ποιοτική θεωρία Ύπαρξη και Μοναδικότητα λύσης. Θεώρημα Picard, Θεώρημα Peano.
    Γραμμικές Σ.Δ.Ε.: Γενική θεωρία. Γραμμική ανεξαρτησία. Ορίζουσα Wronski. Ομογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων (Lagrange)-Μέθοδος προσδιορισμού των συντελεστών. Εξίσωση Euler. Επίλυση με Σειρές: Δυναμοσειρές.
    Λύση σε ομαλό σημείο. Εξίσωση Legendre. Λύση σε κανονικό ανώμαλο σημείο. Θεωρία Fucks, Frobenius. Εξίσωση Bessel. Συστήματα Σ.Α.Ε.: Εισαγωγή, Λύση με
    απαλοιφή. Γενική θεωρία. Συστήματα με σταθερούς συντελεστές, ομογενή, μη ομογενή. Mετασχηματισμός
    Laplace: Εισαγωγή, Ιδιότητες. Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace. Εφαρμογές. Συνάρτηση
    Heaviside. «Συνάρτηση» δ Dirac. Συνέλιξη. Ολόκληρο διαφορικές εξισώσεις. Μιγαδικές Συναρτήσεις:
    Μιγαδικοί αριθμοί. Άλγεβρα μιγαδικών αριθμών,
    στερεογραφική προβολή, τοπολογία του C, ακολουθίες μιγαδικών αριθμών. Αναλυτικές συναρτήσεις.
    Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης, εξισώσεις
    Cauchy - Riemann, αρμονικές και συζυγείς, αρμονικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις συναρτήσεις. Η εκθετική συνάρτηση, τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές των, μιγαδικοί λογάριθμοι. Μιγαδική ολοκλήρωση. Επικαμπύλια ολοκληρώματα, θεώρημα
    Cauchy και εφαρμογές. Θεώρημα Liouville, αρχή μεγίστου και Λήμμα του Schwartz. Σειρές: Σειρές αναλυτικών συναρτήσεων, δυναμοσειρές, θεώρημα Cauchy - Taylor.
    Σειρές Laurent και ολοκληρωτικά υπόλοιπα. Ταξινόμηση ανωμάλων σημείων, θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων και εφαρμογές.